根据单值化定理, R 的万有覆盖 U 可以共形映射到一个 simple domain E 上, 这个 E 或者是单位圆盘 $|z|<1$, 或者是有限 z-平面, 或者是整个 z-平面.

E 到自身的所有共形映射构成一个群 $\Omega$. 而 R 的基本群可由 $\Omega$ 的一个子群 $\Delta$ 忠实地表示, 这个子群 $\Delta$ 在 E 上是不连续的.

通过引入参数 $z$, R 上的单变量解析函数的一般理论可归结为 the theory of automorphic functions with the group $\Delta$.

群 $\Omega$ 是可迁的, 即对 E 中任意两点 $z_1,z_2$, 存在 $\Omega$ 中的一个元素 $f$, 将 $z_1$ 映为 $z_2$. 并且, 对 E 中任一点 $z_1$, 存在 $\Omega$ 中的一个对合映射 $f$, 以 $z_1$ 为不动点. 即

\[f(z_1)=z_1,\quad f^{-1}(z_1)=z_1.\]

因而用 Elie Cartan 的术语来说, E 是一个对称空间.

如果我们仅考虑第一种情形, 即域 E 是单位圆盘, 则它有界的. 这种情形的出现当且仅当 U 至少有两个 frontier points.

References:

Carl Ludwig Siegel, Symplectic Geometry. Institute for advanced study, Princeton, N. J.